Ενδεικτικές Απαντήσεις

Β1.

Α) Η επιλογή (γ).

Β) Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε. στην κίνηση του σκιέρ από την κορυφή μέχρι τη βάση της πίστας.

\(E_M = \text{σταθ} \Rightarrow K_0 + U_0 = K + U,\)

όπου:

• \(E_M\) = η μηχανική ενέργεια του σκιέρ.
• \(K_0\) = η κινητική ενέργεια του σκιέρ στην κορυφή της πίστας, που είναι μηδέν.
• \(U_0\) = η βαρυτική δυναμική ενέργεια του σκιέρ στην κορυφή της πίστας, που υπολογίζεται από τη σχέση \(U_0 = m \cdot g \cdot h\).
• \(K\) = η κινητική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας, που υπολογίζεται από τη σχέση \(K = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \upsilon^2\).
• \(U\) = η βαρυτική δυναμική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας, που είναι μηδέν.

Επομένως:

$$K_0 + U_0 = K + U \Rightarrow 0 + m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \upsilon^2 + 0$$ $$\Rightarrow g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \upsilon^2 $$ $$\Rightarrow \upsilon = \sqrt{2gh} $$ $$\Rightarrow \upsilon = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2000} $$ $$\Rightarrow \upsilon = \sqrt{40000} $$ $$\Rightarrow \upsilon = 200 \text{ m/s} $$ $$\Rightarrow \upsilon = 200 \cdot 3600/1000 \Rightarrow \upsilon = 720 \text{ Km/h}$$

Επομένως, η ταχύτητα που θα είχε ο σκιέρ στη βάση της πίστας, αν αγνοήσουμε τις αντιστάσεις κατά τη διάρκεια της κίνησης, θα είναι 720 Km/h.

Β2.

Α) Η επιλογή (γ).

Β)

Στη βάση της πίστας ισχύει:

\(E_M = K + U \Rightarrow E_M = K + 0 \Rightarrow E_M = K,\)

όπου:

• \(E_M\) = η μηχανική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας,
• \(K\) = η κινητική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας,
• \(U_\theta\) = η βαρυτική δυναμική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας, που είναι μηδέν.

Ένας σκιέρ που χάνει το 96% της αρχικής μηχανικής του ενέργειας, διατηρεί μόνο το 4% της μηχανικής ενέργειας που θα είχε, αν έκανε κίνηση χωρίς ενεργειακές απώλειες.

Θα ισχύει:

$$\frac{E_\pi}{E_\theta} = 0{,}04 \Rightarrow \frac{K_\pi}{K_\theta} = 0{,}04,$$

όπου:

• \(E\pi\) = η πραγματική μηχανική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας,
• \(E\theta\) = η θεωρητική μηχανική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας σε κίνηση χωρίς απώλειες,
• \(K_\pi\) = η πραγματική κινητική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας, που είναι \(K_\pi = \frac{1}{2} m \upsilon_\pi^2\),
• \(K_\theta\) = η θεωρητική κινητική ενέργεια του σκιέρ στη βάση της πίστας (σε κίνηση χωρίς απώλειες), που είναι \(K_\theta = \frac{1}{2} m \upsilon_\theta^2\),

Ισχύει:

$$\frac{K_\pi}{K_\theta} = 0{,}04 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2} m \upsilon_\pi^2}{\frac{1}{2} m \upsilon_\theta^2} \Rightarrow \left(\frac{\upsilon_\pi}{\upsilon_\theta}\right)^2 = 0{,}04 \Rightarrow \upsilon_\pi = 0{,}2 \cdot \upsilon_\theta,$$

όπου:

• \(\upsilon_\pi\) = η πραγματική ταχύτητα του σκιέρ στη βάση της πίστας,
• \(\upsilon_\theta\) = η θεωρητική ταχύτητα του σκιέρ στη βάση της πίστας, που είναι 720 km/h.

Επομένως:

\(\upsilon_\pi = 0{,}2 \cdot 720 \Rightarrow \upsilon_\pi = 144 \text{ Km/h}.\)

Επομένως, η επίδοση του σκιέρ είναι επίδοση επαγγελματία και μπορούν να την επιτύχουν πολύ έμπειροι σκιέρ.