ΛΥΣΗ
α) Έστω \(x\) το μήκος του κήπου και \(y\) το πλάτος του. Αφού η περίμετρος είναι \(26\ m\), θα πρέπει \(2x+2y=26\), άρα \(y=13-x\).

Οπότε το εμβαδόν του κήπου υπολογίζεται από την εξίσωση:

$$x(13-x)=40$$ $$\Leftrightarrow 13x-x^{2}=40$$ $$\Leftrightarrow x^{2}-13x+40=0$$

Εναλλακτική λύση:
Αν \(x_{1}\) και \(x_{2}\) οι λύσεις της ζητούμενης εξίσωσης (μήκος και πλάτος), θα έχουμε:
\(S=x_{1}+x_{2}=13\), αφού η περίμετρος είναι \(26\), άρα το \(x_{1}+x_{2}\) είναι η ημιπερίμετρος δηλαδή \(13\).
\(P=x_{1}x_{2}=40\) αφού το εμβαδόν του ορθογώνιου κήπου είναι \(40\ m^{2}\). Οπότε η ζητούμενη εξίσωση θα είναι της μορφής \(x^{2}-Sx+P=0\) άρα \(x^{2}-13x+40=0\).

β) Για να βρούμε τις διαστάσεις του κήπου θα λύσουμε την εξίσωση:

$$x^{2}-13x+40=0$$ $$Δ = $(-13)^{2}-4\cdot 1\cdot 40=169-160=9>0$$ $$x_{\text{1,2}}=\dfrac{13\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{13\pm 3}{2}$$

οπότε

$$x_{1}=\dfrac{13+3}{2}=\dfrac{16}{2}=8\text{ και }x_{2}$$ $$=\dfrac{13-3}{2}=\dfrac{10}{2}=5$$

Άρα οι διαστάσεις του κήπου θα είναι μήκος \(8\ m\) και πλάτος \(5\ m\).

γ) Αφού το εμβαδόν του κύκλου είναι \(20m^{2}\), θα υπολογίσουμε την ακτίνα του παρτεριο:

$$πρ^{2}=20$$ $$\Leftrightarrow 3,14ρ^{2}=20$$ $$\Leftrightarrow ρ^{2}=\dfrac{20}{3,14}$$ $$\Leftrightarrow ρ^{2}\approxeq 6,37$$ $$\Leftrightarrow ρ=\sqrt{6,37}$$ $$\Leftrightarrow ρ\approxeq 2,52$$

Άρα η διάμετρος του παρτεριού θα είναι περίπου \(2,52\cdot 2=5,04>5\ m\), που είναι το πλάτος του κήπου. Δηλαδή, δεν θα χωρέσει το παρτέρι στον κήπο.

δ) Το εμβαδόν του κήπου είναι \(40\ m^{2}\), άρα αν \(y\) το νέο πλάτος του κήπου με \(4 < y < 7\) και \(x\) το νέο μήκος του, θα έχουμε:

$$xy=40$$ $$\Leftrightarrow x=\dfrac{40}{y}\text{ και }4 < y < 7$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{y}>\dfrac{1}{7}$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{40}{4}>\dfrac{40}{y}>\dfrac{40}{7}$$ $$\Leftrightarrow 10>x>5,7$$

Άρα το νέο μήκος του κήπου \(x\in (5,7, 10)\).