Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2621 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38931 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38931 | ||
| Ύλη: | 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Τα φράκταλ (fractal) είναι γεωμετρικά σχήματα με ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό: παρουσιάζουν αυτοομοιότητα, δηλαδή κάθε μικρό τους τμήμα μοιάζει με το σύνολο. Όσο κι αν μεγεθύνουμε ένα κομμάτι του φράκταλ, θα παρατηρούμε ότι συνεχίζει να εμφανίζει την ίδια δομή. Φράκταλ εμφανίζονται τόσο στη φύση (π.χ. στο μπρόκολο ρομανέσκο), όσο και σε δημιουργήματα του ανθρώπου (όπως έργα τέχνης ή σχήματα κατασκευασμένα με υπολογιστές). Ένα από τα πιο γνωστά φράκταλ είναι το «Τρίγωνο του Sierpinski», το οποίο κατασκευάζεται με την εξής επαναλαμβανόμενη διαδικασία:
Ξεκινάμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1.
Συνδέουμε τα μέσα των πλευρών του και αφαιρούμε το μεσαίο τρίγωνο που σχηματίζεται.
Στα τρία τρίγωνα που απομένουν, επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία: εντοπίζουμε τα μέσα των πλευρών και αφαιρούμε το κεντρικό τρίγωνο.
Επαναλαμβάνουμε αυτό το μοτίβο επ’ άπειρον.
Με τον όρο "μαύρα τρίγωνα" εννοούμε εκείνα που παραμένουν μετά από κάθε αποκοπή και δεν αφαιρούνται.
α) Να υπολογίσετε το πλήθος των μαύρων τριγώνων στο 1ο, στο 2ο, στο 3ο και στο 4ο σχήμα, να αποδείξετε ότι το πλήθος των μαύρων τριγώνων σε κάθε σχήμα αποτελεί μια γεωμετρική πρόοδο και να γράψετε τον νιοστό της όρο.
(Μονάδες 7)
β) Να γράψετε το μήκος που έχει η πλευρά καθενός από τα μαύρα τρίγωνα για τα 4 πρώτα σχήματα και να αποδείξετε ότι η πρόοδος που προκύπτει είναι γεωμετρική, γράφοντας το μήκος της πλευράς που θα έχει το νιοστό σχήμα.
(Μονάδες 7)
γ) Να αποδείξετε ότι τη συνολική περίμετρο των μαύρων τριγώνων (δηλαδή το άθροισμα των περιμέτρων τους) σε κάθε σχήμα τη δίνει ο τύπος : \(Π_{ν}=3\cdot (\dfrac{3}{2})^{ν}\).
(Μονάδες 6)
δ) Να εξηγήσετε γιατί ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις:
- «Το μήκος της πλευράς καθενός από τα μαύρα τρίγωνα μειώνεται, καθώς αυξάνει το πλήθος τους».
(Μονάδες 2) - «Το άθροισμα των περιμέτρων των μαύρων τριγώνων αυξάνει, καθώς αυξάνει το πλήθος τους».
(Μονάδες 3)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Στο 1ο βήμα υπάρχουν 3 μαύρα τρίγωνα,
στο 2ο βήμα υπάρχουν \(3\cdot 3=9\) μαύρα τρίγωνα,
στο 3ο βήμα υπάρχουν \(9\cdot 3=27\) μαύρα τρίγωνα και
στο 4ο βήμα υπάρχουν \(27\cdot 3=81\) μαύρα τρίγωνα.
Εφόσον σε κάθε βήμα από ένα μαύρο τρίγωνο προκύπτουν 3 μικρότερα, το πλήθος των μαύρων τριγώνων είναι τριπλάσιο του προηγούμενου. Άρα, το πλήθος των μαύρων τριγώνων σε κάθε σχήμα είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο \(α_{1}=3\) και λόγο \(λ=3\). Επομένως, ο νιοστός όρος θα είναι \(α_{ν}=3\cdot 3^{ν-1}=3^{ν}\).
β) Στο πρώτο σχήμα το μήκος που έχει η πλευρά καθενός από τα μαύρα τρίγωνα είναι \(α_{1}=\dfrac{1}{2}\), και κάθε φορά είναι η μισή, άρα στο δεύτερο σχήμα είναι \(α_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=(\dfrac{1}{2})^{2}\), στο τρίτο σχήμα \(α_{3}=(\dfrac{1}{2})^{3},\) στο τέταρτο σχήμα \(α_{4}=(\dfrac{1}{2})^{4}\). Άρα η γεωμετρική πρόοδος που δίνει το μήκος της πλευράς κάθε σχήματος έχει λόγο \(λ=\dfrac{1}{2}\) και νιοστό όρο \((\dfrac{1}{2})^{ν}\).
γ) Το σύνολο των περιμέτρων όλων των μαύρων τριγώνων είναι το γινόμενο του πλήθους των μαύρων τριγώνων επί την περίμετρο του ενός από αυτά. Στο νιοστό βήμα το μήκος της πλευράς ενός μαύρου τριγώνου είναι \((\dfrac{1}{2})^{ν}\), άρα η περίμετρός του είναι \(3\cdot (\dfrac{1}{2})^{ν}\) και το πλήθος των σχημάτων είναι \(3^{ν}\), άρα το σύνολο των περιμέτρων των μαύρων τριγώνων είναι \(Π_{ν}=3^{ν}\cdot 3\cdot (\dfrac{1}{2})^{ν}=3\cdot (3\cdot \dfrac{1}{2})^{ν}=3\cdot (\dfrac{3}{2})^{ν}\).
δ)
- Το μήκος της πλευράς καθενός από τα μαύρα τρίγωνα μειώνεται, εφόσον είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο \(λ=\dfrac{1}{2}\), δηλαδή κάθε φορά το μήκος είναι το μισό του προηγούμενου.
- Το άθροισμα των περιμέτρων των μαύρων τριγώνων είναι \(Π_{ν}=3\cdot (\dfrac{3}{2})^{ν}\), οπότε σε κάθε βήμα πολλαπλασιάζεται με το \(\dfrac{3}{2}\), δηλαδή είναι μιάμιση φορά παραπάνω από το προηγούμενο, άρα σε κάθε σχήμα η περίμετρος είναι μεγαλύτερη.