ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|2x-1|<1$$

οπότε:

$$-1<2x-1<1$$

προσθέτουμε στα μέλη της ανίσωσης το \(1\) και έχουμε:

$$0<2x<2$$

διαιρούμε τα μέλη της ανίσωσης με το \(2\) και τελικά:

$$0 < x < 1$$

β) Από το α) ερώτημα, έχουμε \(0<x<1\), οπότε και \(0<x^{2}<1\). Πρέπει να βρούμε τη σχέση του \(x\) με τον \(x^{2}\). Θα πάρουμε τη διαφορά τους \(x^{2}-x\) και θα βρούμε το πρόσημό της. Το τριώνυμο \(x^{2}-x=x(x-1)\) έχει ρίζες \(x_{1}=0\) και \(x_{2}=1\). Δεδομένου ότι \(0<x<1\), μας ενδιαφέρει το πρόσημο του τριωνύμου στο διάστημα εντός των ριζών του. Στο διάστημα αυτό το τριώνυμο είναι αρνητικό. Δηλαδή \(x^{2}-x<0\) για \(x\in (0,1)\). Οπότε \(x^{2}<x\).

Τελικά, \(x^{2}<x<1\).

Εναλλακτικά, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της \(0<x<1\) με \(x>0\), οπότε προκύπτει: \(0<x^{2}<x\) και τελικά \(x^{2}<x<1\).