ΛΥΣΗ

α)

1. Για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) έχουμε ότι:

• \(-x\in\mathbb{R}\) και
• \(h(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-h(x)\)

Επομένως η συνάρτηση \(h\) είναι περιττή.

2. Συμπληρώνουμε το συμμετρικό τμήμα της δοθείσας γραφικής παράστασης ως προς την αρχή των αξόνων \(O\).

3. Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(h\) με τον άξονα \(x'x\) έχουν τεταγμένη \(y=0\), με \(y=h(x)\).

Είναι

\begin{align}y=0&\Leftrightarrow h(x)=0\\ &\Leftrightarrow x^3-x=0\\ &\Leftrightarrow x(x^2-1)=0\\ &\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x^2-1=0\\ &\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x^2=1\\ &\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x=\pm1\end{align}

Οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα \(O(0,0)\), \(A(1,0)\) και \(B(-1,0)\).

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από την ευθεία \(\varepsilon:y=x\) αν και μόνο αν για κάθε \(x\in[0,+\infty)\) ισχύει \(g(x)>x\quad:(A)\).

Για \(x\in[0,+\infty)\) έχουμε: \(g(x)>x\Leftrightarrow\sqrt[3]{x}>x\)

\begin{align}&\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{x}\right)^3>x^3\\ &\Leftrightarrow x>x^3\\ &\Leftrightarrow 0>x^3-x\\ &\Leftrightarrow 0>h(x)\end{align}

Επομένως, ισχύει η \((A)\) αν και μόνο αν \(h(x)<0\) για κάθε \(x\in[0,+\infty)\) και έπεται το ζητούμενο.

Σχόλιο: Μπορούμε να αποδείξουμε και την εξής πρόταση «Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από την ευθεία \(\varepsilon:y=x\) αν και μόνο αν για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει \(g(x)>x\quad:(A)\) ». Αυτό μπορεί να γίνει αν συμπληρώσουμε στη λύση του ερωτήματος (β) τα παρακάτω:

Για \(x\in(-\infty,0)\) έχουμε: \(g(x)>x\Leftrightarrow-\sqrt[3]{-x}>x\)

\begin{align}&\Leftrightarrow\sqrt[3]{-x}<-x\\ &\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{-x}\right)^3<(-x)^3\\ &\Leftrightarrow-x<-x^3\\ &\Leftrightarrow x^3-x<0\\ &\Leftrightarrow h(x)<0\end{align}

Επομένως, ισχύει η \((A)\) αν και μόνο αν \(h(x)<0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) και έπεται το ζητούμενο.