ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση του κύκλου είναι \((c): x^2+y^2=5\).

Επιπλέον είναι: \((OA)=\sqrt{(3-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10}>\sqrt{5}=\rho\).

Ως εκ τούτου, το σημείο \(A\) είναι εξωτερικό του κύκλου.

β)

1. Η εξίσωση εφαπτομένης κύκλου, με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα \(\rho\), στο σημείο \(M(x_1,y_1)\) του κύκλου, είναι η \(xx_1+yy_1=\rho^2\Leftrightarrow xx_1+yy_1=5\) (1).

Το σημείο \(A(3,1)\) όμως επαληθεύει την (1), δηλαδή \(3x_1+y_1=5\).

Επιπλέον το σημείο \(M(x_1,y_1)\) ανήκει στον κύκλο, δηλαδή \(x_1^2+y_1^2=5\).

Η εύρεση των \(x_1\), \(y_1\) και ως εκ τούτου της εφαπτομένης, προκύπτει από την επίλυση του συστήματος:

\begin{align} \begin{cases}3x_1+y_1=5\\x_1^2+y_1^2=5\end{cases} &\Leftrightarrow\begin{cases}y_1=5-3x_1\\x_1^2+(5-3x_1)^2=5\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}y_1=5-3x_1\\x_1^2-3x_1+2=0\end{cases} \\ &\Leftrightarrow\begin{cases}y_1=-1\\x_1=2\end{cases}\text{ ή }\begin{cases}y_1=2\\x_1=1\end{cases} \end{align}

Άρα τα σημεία επαφής είναι το \(B(2,-1)\) και το \(\Gamma(1,2)\).

Επομένως οι εξισώσεις των δύο εφαπτόμενων, είναι αντίστοιχα:

$$(\varepsilon_1): 2x-y=5\quad\text{και}\quad(\varepsilon_2): x+2y=5$$

2. Η ζητούμενη διχοτόμος είναι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \(O\) και \(A\), διότι το \(O\) απέχει ίση απόσταση από τις πλευρές της γωνίας, αφού \((OB)=(O\Gamma)=\rho\).

Ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι \(\lambda_{OA}=\dfrac{1-0}{3-0}=\dfrac{1}{3}\) και ένα σημείο της το \(O(0,0)\).

Επομένως η εξίσωσή της είναι \(y-0=\dfrac{1}{3}(x-0)\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3}x\).