ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση της έλλειψης \((c)\) είναι της μορφής \(\dfrac{x^2}{\beta^2} + \dfrac{y^2}{\alpha^2} = 1\).

Έτσι είναι \(\alpha^2 = 16 \Leftrightarrow \alpha = 4\) και \(\beta^2 = 4 \Leftrightarrow \beta = 2\).

Ακόμη είναι \(\beta = \sqrt{\alpha^2 - \gamma^2} \Leftrightarrow 2 = \sqrt{4^2 - \gamma^2} \Leftrightarrow 4 = 16 - \gamma^2 \Leftrightarrow \gamma^2 = 12 \Leftrightarrow \gamma = 2\sqrt{3}\).

β) Για τα μήκη των αξόνων έχουμε:

• μήκος μεγάλου άξονα ίσο με \(2\alpha = 2 \cdot 4 = 8\),

• μήκος μικρού άξονα ίσο με \(2\beta = 2 \cdot 2 = 4\).

Οι εστίες είναι τα σημεία \(E'(0,-\gamma)\), \(E(0,\gamma)\), δηλαδή τα \(E'\!\left(0,-2\sqrt{3}\right)\), \(E\!\left(0,2\sqrt{3}\right)\).

γ) Ο κύκλος \(x^2 + y^2 = 16\) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με \(\sqrt{16} = 4\).