ΛΥΣΗ

α) Το διάνυσμα \(\overrightarrow{B\Gamma}\) μπορεί να γραφεί ως διαφορά των διανυσμάτων \(\overrightarrow{AB}\) και \(\overrightarrow{A\Gamma}\), δηλαδή

$$\overrightarrow{B\Gamma} = \overrightarrow{A\Gamma} - \overrightarrow{AB}\ \ \text{ τότε }\ \ \overrightarrow{B\Gamma} = (\vec{\alpha}+\vec{\beta}) - (\vec{\alpha}-\vec{\beta}) = 2\vec{\beta}$$

β) Για να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \(\overrightarrow{AB}\) και \(\overrightarrow{A\Gamma}\) αρκεί να αντικαταστήσουμε αντίστοιχα τα διανύσματα και να κάνουμε την επιμεριστική ιδιότητα.

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\Gamma} = (\vec{\alpha}-\vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha}+\vec{\beta}) = \vec{\alpha}^2 - \vec{\beta}^2 = |\vec{\alpha}|^2 - |\vec{\beta}|^2 = 0$$

γ) Επειδή το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων είναι μηδέν τα διανύσματα \(\overrightarrow{AB}\) και \(\overrightarrow{A\Gamma}\) είναι κάθετα.