ΛΥΣΗ

α) Αφού η ευθεία \((\varepsilon)\) διέρχεται από τα σημεία \(A\), \(B\) έχει κλίση:

$$\lambda = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2-1}{3-1} = \frac{1}{2}$$

β) Ως γνωστόν, η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο \(M(x_0, y_0)\) και έχει κλίση \(\lambda\) είναι η \(y - y_0 = \lambda(x - x_0)\).

Επομένως, η εξίσωση της ευθείας \((\varepsilon)\), η οποία διέρχεται από το σημείο \(A(1,1)\) και έχει κλίση \(\lambda = \dfrac{1}{2}\), είναι:

$$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$

γ) Επειδή το σημείο \(\Gamma\) της ευθείας \((\varepsilon)\) ανήκει και στον άξονα \(x'x\), είναι της μορφής \(\Gamma(x, 0)\). Έτσι έχουμε:

$$0 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1$$

Επομένως, το ζητούμενο σημείο είναι το \(\Gamma(-1, 0)\).