ΛΥΣΗ

α) Γνωρίζουμε ότι ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.
Εδώ, το πολυώνυμο \(x-2\) είναι 1ου βαθμού και το πολυώνυμο \(x^{6}+1\) είναι 6ου βαθμού. Επομένως, το γινόμενό τους \(P(x)\) είναι πολυώνυμο 7ου βαθμού.

β) Οι ρίζες του πολυωνύμου \(P(x)\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \(P(x)=0\).
Όμως, \(P(x)=0 \Leftrightarrow (x-2)\cdot (x^{6}+1)=0 \overset{(x^{6}+1>0)}{\Leftrightarrow} x-2=0 \Leftrightarrow x=2\).

Άρα, το πολυώνυμο \(P(x)\) έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό \(2\).