ΘΕΜΑ 2
2.1.
2.1.Α. Σωστή απάντηση είναι η (β)
Μονάδες 4

2.1.Β.
Έστω \(υ_{1}'\) το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου μάζας \(m_{1}\) και \(υ_{2}'\) το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου μάζας \(m_{2}\) αμέσως μετά την κεντρική ελαστική κρούση. Το σφαιρίδιο μάζας \(m_{2}\) είναι ακίνητο πρίν την κρούση, επομένως:

$$υ_{1}'=\dfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot υ_{1}$$

και

$$υ_{2}'=\dfrac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\cdot υ_{1}$$

Οι ταχύτητες των σφαιριδίων μετά την κρούση είναι αντίθετες, δηλαδή:

$$υ_{1}'=-υ_{2}' $$ $$\Rightarrow \dfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot υ_{1}=-\dfrac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\cdot υ_{1} $$ $$\Rightarrow m_{1}-m_{2}=-2m_{1} $$ $$\Rightarrow \dfrac{m_{2}}{m_{1}}=3$$

Μονάδες 8

2.2.
2.2.Α. Σωστή απάντηση είναι η (β)
Μονάδες 4

2.2.Β. Από τη χρονική στιγμή μηδέν μέχρι τη χρονική στιγμή \(t_{1}\) το σύστημα έχει εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση, άρα \(t_{1}=Τ=2\ s\), όπου \(Τ\) η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης. Η περίοδος \(Τ\) παραμένει σταθερή ανεξάρτητη του πλάτους, επομένως \(t_{5}=5Τ\).
Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, επομένως

$$Α_{1}=Α_{0}\cdot e^{-Λt_{1}}$$ $$\text{και}$$ $$Α_{5}=Α_{0}\cdot e^{-Λt_{5}}$$

Διαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη, έχουμε

$$\dfrac{Α_{1}}{Α_{5}}=\dfrac{Α_{0}\cdot e^{-Λt_{1}}}{Α_{0}\cdot e^{-Λt_{5}}} $$ $$\Rightarrow 4=e^{Λ4Τ} $$ $$\Rightarrow Λ4Τ=2ln2 $$ $$\Rightarrow 8Λ=2ln2 $$ $$\Rightarrow Λ=\dfrac{ln2}{4}\ s^{-1}$$

Μονάδες 9