ΛΥΣΗ

α) Η ΑΜ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(ΒΓ\) του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\), οπότε ισχύει ότι \(ΑΜ = \dfrac{ΒΓ}{2} = ΜΓ\). Επομένως το τρίγωνο \(ΑΜΓ\) είναι ισοσκελές με βάση την \(ΑΓ\), οπότε οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση του είναι ίσες, άρα \(\hat{Γ} = \widehat{ΓΑΜ}\) \((1)\).

Για τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΜΓ\) ισχύει:

$$\widehat{ΑΜΓ} + \widehat{ΜΑΓ} + \hat{Γ} = 180° \text{ ή } 120° + \hat{Γ} + \hat{Γ} = 180° \text{ ή } \hat{Γ} = 30°$$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι \(\hat{Γ} = 30°\), οπότε η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των \(30°\) θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή θα είναι \(ΑΒ = \dfrac{ΒΓ}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\).

β) Στο ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΜΓ\), το τμήμα \(ΜΔ\), ως κάθετο στην ΑΓ θα είναι ύψος που αντιστοιχεί στη βάση \(ΑΓ\) του τριγώνου, οπότε θα είναι και διάμεσός του. Συνεπώς το Δ είναι μέσο της \(ΑΓ\). Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) το τμήμα \(ΜΔ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του, των ΒΓ και ΑΓ, άρα \(ΜΔ = \dfrac{ΑΒ}{2}= \dfrac{4}{2} =2\).