Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6899 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34512 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 11-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34512 | ||
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\), του οποίου οι διαγώνιοι \(ΑΓ\) και \(ΔΒ\) τέμνονται στο σημείο \(Ο\). Έστω \(Ε\), \(Ζ\), \(Η\) και \(Θ\) είναι τα μέσα των \(ΟΔ\), \(ΟΑ\), \(ΟΒ\) και \(ΟΓ\) αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι τετράπλευρο \(ΕΖΗΘ\) είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 15)
β) Αν η περίμετρος του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) είναι \(40\), να βρείτε την περίμετρο του \(ΕΘΗΖ\). (Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Τα \(Ε\), \(Ζ\) είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΟΑΔ\), άρα \(ΕΖ = \frac{ΑΔ}{2}\) \((1)\).
Τα \(Ζ\), \(Η\) είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΟΑΒ\), άρα \(ΖΗ = \frac{ΑΒ}{2}\) \((2)\).
Τα \(Η\), \(Θ\) είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΟΒΓ\), άρα \(ΗΘ = \frac{ΒΓ}{2}\) \((3)\).
Τα \(Ε\), \(Θ\) είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΟΓΔ\), άρα \(ΕΘ = \frac{ΓΔ}{2}\) \((4)\).
Επειδή το \(ΑΒΓΔ\) είναι παραλληλόγραμμο ισχύει ότι \(ΑΒ = ΓΔ\) και \(ΑΔ = ΒΓ\). Τότε από τις \((1)\), \((3)\) βρίσκουμε \(ΖΗ = ΕΘ\) και από τις \((2)\), \((4)\) \(ΕΖ = ΘΗ\), δηλαδή στο τετράπλευρο \(ΕΖΗΘ\) οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
β) Επειδή η περίμετρος του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) είναι \(40\), ισχύει ότι:
\(ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ = 40\). Τότε:
$$ΕΖ + ΖΗ + ΗΘ + ΘΕ = \frac{ΑΔ}{2} + \frac{ΑΒ}{2} + \frac{ΒΓ}{2} + \frac{ΓΔ}{2} = \frac{ΑΔ+ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ}{2} = \frac{40}{2} = 20$$
