ΛΥΣΗ

α)

i. Το \(Δ\) είναι μέσο του \(ΑΒ\), άρα \(ΔΒ = \dfrac{ΑΒ}{2}\). Επομένως ισχύει ότι \(ΑΔ = ΕΔ = ΔΒ = \dfrac{ΑΒ}{2}\).

Άρα στο τρίγωνο \(ΑΕΒ\) μια διάμεσός του, η \(ΕΔ\), ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, δηλαδή την \(ΑΒ\). Επομένως, το τρίγωνο \(ΑΕΒ\) είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά \(ΑΒ\).

ii. Ισχύει ότι \(ΑΔ = ΕΔ = ΔΒ = 10\). Το \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα του τριγώνου \(ΑΒΓ\), οπότε θα είναι ίσο με το μισό της τρίτης πλευράς του \(ΒΓ\), δηλαδή:

$$ΔΕ = \frac{ΒΓ}{2} \;\Rightarrow\; 10 = \frac{ΒΓ}{2} \;\Rightarrow\; ΒΓ = 20$$

β) Επίσης είναι \(ΑΒ = 2ΔΒ = 20\). Η περίμετρος του τριγώνου \(ΑΒΓ\) είναι:

$$Π = ΑΒ + ΒΓ + ΑΓ = 20 + 20 + 2ΑΕ = 40 + 16 = 56$$