ΛΥΣΗ

α) Από τα δεδομένα έχουμε ότι \(\hat{A} + \hat{Γ} = 120^{\circ}\) με \(\hat{A} = 3\hat{Γ}\). Οπότε \(3\hat{Γ} + \hat{Γ} = 120^{\circ}\) ή \(4\hat{Γ} = 120^{\circ}\), άρα \(\hat{Γ} = 30^{\circ}\) και \(\hat{A} = 3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ}\).

Συνεπώς το τρίγωνο \(ABΓ\) είναι ορθογώνιο.

Από το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου \(ABΓ\) βρίσκουμε:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \text{ ή } 90^{\circ} + \hat{B} + 30^{\circ} = 180^{\circ}, \text{ άρα } \hat{B} = 60^{\circ}.$$

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ABΓ\) είναι \(\hat{Γ} = 30^{\circ}\), άρα η απέναντι κάθετη πλευρά του τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή ισχύει:

$$AB = \frac{BΓ}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}.$$