ΛΥΣΗ

α) Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\) είναι:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff 90^{\circ} + 30^{\circ} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff \hat{Γ} = 60^{\circ}.$$

Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΔΕ\) είναι:

$$\hat{A} + \hat{Δ} + \widehat{AEΔ} = 180^{\circ} \iff 90^{\circ} + 30^{\circ} + \widehat{AEΔ} = 180^{\circ} \iff \widehat{AEΔ} = 60^{\circ}.$$

Η γωνία \(\widehat{AEΔ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΕΖΒ\), οπότε ισχύει:

$$\widehat{AEΔ} = \widehat{EZB} + \hat{B} \iff 60^{\circ} = \widehat{EZB} + 30^{\circ} \iff \widehat{EZB} = 30^{\circ}.$$

Οι γωνίες \(\widehat{Γ ZE}\) και \(\widehat{EZB}\) είναι παραπληρωματικές, οπότε ισχύει:

$$\widehat{Γ ZE} + \widehat{EZB} = 180^{\circ} \iff \widehat{Γ ZE} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \iff \widehat{Γ ZE} = 150^{\circ}.$$

Οπότε οι γωνίες του τετραπλεύρου \(ΑΕΖΓ\) είναι: \(\hat{A} = 90^{\circ}\), \(\widehat{AEZ} = 60^{\circ}\), \(\widehat{EZΓ} = 150^{\circ}\), \(\widehat{ZΓ A} = 60^{\circ}\).

β) Επειδή είναι \(\widehat{EZB} = \hat{B} = 30^{\circ}\), το τρίγωνο \(ΕΒΖ\) είναι ισοσκελές.

Επειδή οι γωνίες \(\widehat{EZB}\) και \(\widehat{Γ ZΔ}\) είναι κατακορυφήν, ισχύει ότι \(\widehat{Γ ZΔ} = \widehat{EZB} = 30^{\circ}\).

Άρα \(\widehat{Γ ZΔ} = \hat{Δ}\), οπότε το τρίγωνο \(ΓΖΔ\) είναι ισοσκελές.