ΛΥΣΗ

α)

i. Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \text{ ή } \hat{B} + 2\hat{B} = 180^{\circ} \text{ ή } 3\hat{B} = 180^{\circ} \text{ ή } \hat{B} = 60^{\circ}$$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΒ\) (\(ΑΔ\) ύψος, άρα \(ΑΔ ⊥ ΒΓ\)) για τις οξείες γωνίες του ισχύει:

$$\widehat{B AΔ} + \widehat{ABΔ} = 90^{\circ} \text{ ή } \widehat{BAΔ} = 30^{\circ}$$

Επειδή η \(ΒΕ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{B}\), ισχύει ότι \(\widehat{ABZ} = \dfrac{\widehat{ABΔ}}{2} = \dfrac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\).

Επειδή \(\widehat{BAΔ} = \widehat{ABZ} = 30^{\circ}\) συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο \(ΑΒΖ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΑΒ\), οπότε \(ΑΖ = ΒΖ\).

ii. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΒΔΖ\) είναι \(\widehat{ZBΔ} = 30^{\circ}\), άρα η απέναντι κάθετη πλευρά του ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή \(ZΔ = \dfrac{BZ}{2}\).

Τότε \(ΑΔ = ΑΖ + ΖΔ\) και \(ΑΖ = ΒΖ\) από το α)i, οπότε \(AΔ = BZ + \dfrac{BZ}{2} = \dfrac{3}{2}BZ\).

β) Αν το τρίγωνο \(ΑΖΕ\) είναι ισόπλευρο, ισχύει ότι \(\widehat{ZAE} = 60^{\circ}\). Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΓ\) για τις οξείες γωνίες του ισχύει: \(\widehat{Δ AΓ} + \hat{Γ} = 90^{\circ}\) άρα \(\hat{Γ} = 30^{\circ}\).

Επίσης από το α)i. έχουμε \(\hat{B} = 60^{\circ}\) οπότε:

$$\widehat{BAΓ} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \text{ ή } \widehat{BAΓ} + 60^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \text{ ή } \widehat{BAΓ} = 90^{\circ}$$