ΛΥΣΗ

α) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές ισχύει ότι \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\).

Για τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΒΓ\) ισχύει ότι \(\widehat{Α} + \widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^{\circ}\) και επειδή \(\widehat{Α} = 120^{\circ}\) από την υπόθεση, θα έχουμε ότι \(120^{\circ} + 2\widehat{Β} = 180^{\circ}\), άρα \(\widehat{Β} = 30^{\circ} = \widehat{Γ}\).

Είναι: \(\widehat{Α} = 120^{\circ}\) ή \(\widehat{ΒΑΔ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}\), άρα \(\widehat{ΒΑΔ} = 30^{\circ}\).

Άρα \(\widehat{ΒΑΔ} = \widehat{Β}\) οπότε το τρίγωνο \(ΑΔΒ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΔ = ΒΔ\) \((1)\).

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΓ\) είναι \(\widehat{Γ} = 30^{\circ}\), άρα η απέναντι κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή:

\(ΑΔ = \frac{ΔΓ}{2}\)

και επειδή \(ΑΔ = ΒΔ\) (από σχέση \((1)\)) θα είναι \(ΒΔ = \frac{ΔΓ}{2}\) άρα \(ΔΓ = 2ΒΔ\).

γ) Είναι: \(ΔΓ = 2ΒΔ\) (από β) ερώτημα) και \(Κ\) μέσο \(ΔΓ\) (από υπόθεση) άρα \(ΔΓ = 2ΔΚ\), οπότε \(ΔΚ = ΒΔ\). Άρα το \(Δ\) είναι μέσο της \(ΒΚ\).

Στο \(ΑΒΚ\), το \(ΛΔ\) ενώνει τα μέσα των \(ΑΒ\) και \(ΒΚ\) οπότε \(ΛΔ \parallel ΑΚ\).

δ) Το \(ΛΔ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΒΚ\) στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) άρα \(ΛΔ = \frac{ΑΚ}{2}\) ή \(ΑΚ = 2ΛΔ\).