ΛΥΣΗ

α) Η \(ΑΜ\) διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\) που αντιστοιχεί στη βάση του \(ΒΓ\), οπότε θα είναι και ύψος και διχοτόμος του τριγώνου.

Επειδή \(ΑΜ\perp ΒΓ\) και \(ΓΔ\perp ΒΓ\) προκύπτει ότι \(ΑΜ//ΓΔ\).

β) Ισχύει ότι \(ΑΒ = ΓΔ\) και \(ΑΒ = ΑΓ\) οπότε \(ΑΓ = ΓΔ\). Άρα το τρίγωνο \(ΑΓΔ\) είναι ισοσκελές με βάση την \(ΑΔ\), οπότε \(\widehat{ΓΑΔ} = \widehat{Δ}\).

Ισχύει επίσης ότι \(\widehat{ΜΑΔ} = \widehat{Δ}\) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΜ, ΓΔ\) που τέμνονται από την \(ΑΔ\). Άρα \(\widehat{ΜΑΔ} = \widehat{ΓΑΔ}\), επομένως η \(ΑΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{ΜΑΓ}\).

γ) Ισχύει ότι:

$$\widehat{ΓΑΔ} = \frac{\widehat{ΜΑΓ}}{2} = \frac{\frac{\widehat{ΒΑΓ}}{2}}{2} = \frac{\widehat{ΒΑΓ}}{4} \quad (1)$$

Από το άθροισμα γωνιών του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ=ΑΓ\)) βρίσκουμε:

$$\widehat{ΒΑΓ} + \widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^o \text{ ή } \widehat{ΒΑΓ} + 2\widehat{Β} = 180^o \text{ ή } \widehat{ΒΑΓ} = 180^o - 2\widehat{Β}$$

Τότε η \((1)\) γράφεται:

$$\widehat{ΓΑΔ} = \frac{180^o - 2\widehat{Β}}{4} = 45^o - \frac{\widehat{Β}}{2}$$

δ) Από τη τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο \(ΑΓΔ\), έχουμε:

$$ΑΔ < ΑΓ + ΓΔ \text{ ή } ΑΔ < ΑΒ + ΑΒ \text{ ή } ΑΔ < 2ΑΒ.$$