α) Είναι \(P(1)=2\cdot1^3-1^2-2\cdot1+1=2-1-2+1=0\) που σημαίνει ότι το \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-1\). Το σχήμα Horner για τη διαίρεση \(P(x):(x-1)\) φαίνεται παρακάτω:

Συνεπώς \(P(x)=(x-1)(2x^2+x-1)\).

β) Το πρόσημο του \(P(x)=(x-1)(2x^2+x-1)\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Συνεπώς \(P(x)<0\) για κάθε \(x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)\).

γ) Είναι \(0<\theta<\frac{\pi}{3}\) και επειδή η συνάρτηση \(\text{συν}x\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), έχουμε ότι

\begin{align}&\text{συν}0>\text{συν}\theta>\text{συν}\frac{\pi}{3}\Rightarrow\\ &1>\text{συν}\theta>\frac{1}{2}\end{align}

δ) Αφού \(P(x)<0\) για κάθε \(x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)\) και \(\frac{1}{2}<\text{συν}\theta<1\) συμπεραίνουμε ότι \(P(\text{συν}\theta)<0\).