Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 2502 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14655 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14655
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(A=90^0\)) με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη \(x\) και \(y\) τέτοια, ώστε \(x+y=10\).

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου τριγώνου ως συνάρτηση του \(x\) δίνεται από τον τύπο \(Ε(x)=\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\) με \(x\in (0,10)\).
(Μονάδες 8)

β)

  1. Να αποδείξετε ότι \(Ε(x)\le \dfrac{25}{2}\) για κάθε \(x\in (0,10)\).
    (Μονάδες 7)

  2. Για ποια τιμή του \(x\) το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(\dfrac{25}{2}\);
    (Μονάδες 6)

γ) Αν \(x=5\), ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το είδος του τρίγωνου ως προς τις πλευρές του;
(Μονάδες 4)

ΛΥΣΗ

α) Επειδή \(x\) και \(y\) είναι μήκη πλευρών έχουμε \(x>0\) και \(y>0\) με \(x+y=10 \Leftrightarrow y=10-x\).
Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου έχουμε:

$$Ε(x)=\dfrac{1}{2}x\cdot y$$ $$=\dfrac{1}{2}x\cdot (10-x)$$ $$=\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})$$

με \(x\in (0,10)\).

β)

  1. Αρκεί να αποδείξουμε την σχέση \(Ε(x)\le \dfrac{25}{2}\) για κάθε \(x\in (0,10)\), αρκεί:

    $$\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\le \dfrac{25}{2}$$ $$\Leftrightarrow 10x-x^{2}\le 25$$ $$\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (x-5)^{2}\ge 0$$

    ισχύει για \(x\in (0,10)\).

  2. Tο εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(\dfrac{25}{2}\) για \(x=5\) γιατί:

    $$Ε(x)=\dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(10x-x^{2})=\dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow (x-5)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=5$$

γ) Όταν \(x=5\) τότε \(y=5\), άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές.