Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5011 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14963 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Φεβ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14963
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση \(|x-4|-|x-2|=2\).

α) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της παραπάνω εξίσωσης.
(Μονάδες 8)

β) Να αιτιολογήσετε γεωμετρικά ότι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί που ανήκουν στο \((-∞,2]\) και μόνο αυτοί.
(Μονάδες 8)

γ) Αν για τον πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει ότι \(|x-4|-|x-2|=2\), τότε να δείξετε ότι \(x^{2}-6x+8≥0\).
(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς \(x\) των οποίων η απόσταση από το \(4\) είναι δύο μονάδες μεγαλύτερη από την απόστασή τους από το \(2\). Δηλαδή:

$$d(x,4)-d(x,2)=2$$

β) Έστω ότι τα σημεία \(Μ\), \(Α\), \(Β\) αναπαριστούν στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς \(x\), \(2\), \(4\) αντίστοιχα, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.

Παρατηρούμε ότι \(d(2,4)=(ΑΒ)=2\).

Για κάθε αριθμό \(x∈(-∞,2]\) είναι \(d(x,4)-d(x,2)=(ΜΒ)-(ΜΑ)=(ΑΒ)=2\).

Για κάθε αριθμό \(x∈(2,4]\) είναι:

$$d(x,4)-d(x,2) < d(x,4)+d(x,2)$$ $$=(ΜΒ)+(ΜΑ)=(ΑΒ)=2$$

και άρα:

$$d(x,4)-d(x,2)≠2$$

Για κάθε αριθμό \(x∈(4,+∞)\) είναι \((ΜΒ)<(ΜΑ)\) οπότε \(d(x,4)<d(x,2)\) δηλαδή \(d(x,4)-d(x,2)<0\) και άρα \(d(x,4)-d(x,2)≠2\).

γ) όπως δείξαμε στο β), αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει \(x\) ότι \(|x-4|-|x-2|=2\), τότε \(x∈(-∞,2]\).

Το τριώνυμο \(x^{2}-6x+8\) έχει ρίζες τους αριθμούς \(2\) και \(4\) και γίνεται μη αρνητικό για \(x∈(-∞,2]∪[4,+∞)\).

Συνεπώς αν για τον πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει ότι \(|x-4|-|x-2|=2\), τότε \(x∈(-∞,2]\) και \(x^{2}-6x+8≥0\).