ΛΥΣΗ

α) i. Είναι:

\begin{align}&x^2+y^2+y=x+2xy+6\\ \Leftrightarrow\,&x^2+y^2-2xy-x+y-6=0\\ \Leftrightarrow\,&(x-y)^2-(x-y)-6=0\end{align}

που είναι το ζητούμενο.

2. Αν θέσουμε \(x-y=u\) τότε η τελευταία εξίσωση γράφεται \(u^2-u-6=0\) και έχει ρίζες τους αριθμούς \(-2\), \(3\) οπότε έχουμε:

• \(u=-2: x-y=-2\Leftrightarrow x-y+2=0\)
• \(u=3: x-y=3\Leftrightarrow x-y-3=0\)

Επομένως η εξίσωση παριστάνει το ζεύγος των ευθειών

$$\varepsilon_1: x-y-3=0\text{ και }\varepsilon_2: x-y+2=0$$

που έχουν το ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, \(\lambda_1=\lambda_2=1\) και είναι παράλληλες μεταξύ τους.

β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι \(d(M,\varepsilon_1)=d(M,\varepsilon_2)\).

Είναι:

$$d(M,\varepsilon_1)=\frac{\left|\alpha-\alpha+\frac{1}{2}-3\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}$$

και

$$d(M,\varepsilon_2)=\frac{\left|\alpha-\alpha+\frac{1}{2}+2\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}$$

οπότε \(d(M,\varepsilon_1)=d(M,\varepsilon_2)\).

γ) Το σημείο \(M\) ισαπέχει από τις ευθείες \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) οπότε βρίσκεται πάνω στην μεσοπαράλληλη τους. Επιπλέον καθεμιά από τις \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda=1\), οπότε η μεσοπαράλληλη διέρχεται από το \(M\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda=1\). Άρα η εξίσωση της είναι:

$$y-\alpha+\frac{1}{2}=1\cdot(x-\alpha)\Leftrightarrow y=x-\frac{1}{2}.$$