Λύση

α) Για την υπερβολή \(C_{1}\) ισχύει ότι έχει εξίσωση της μορφής \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}−\dfrac{y^{2}}{β^{2}}=1\) με \(α=β=1\)

Αν \(γ^{2}=α^{2}+β^{2}=1^{2}+1^{2}=2,\) άρα \(γ=\sqrt{2}>0,\) αφού \(γ>α=1,\)

τότε οι εστίες της θα έχουν συντεταγμένες τις

$$Ε_{1}(γ,0),E'_{1}(−γ,0) $$ $$\Rightarrow Ε_{1}(\sqrt{2},0),E'_{1}(−\sqrt{2},0)$$

β) Η υπερβολή \(C_{2}\) είναι ίδια με τη \(C_{1}\) με τις εστίες της να βρίσκονται στον άξονα \(y'y\) Δηλαδή θα ισχύει ότι :

$$Ε_{2}(0,γ),Ε'_{2}(0,−γ) $$ $$\Rightarrow E_{2}(0,\sqrt{2}),E'_{2}(0,−\sqrt{2})$$

Συνεπώς τα σημεία \(Ε_{1},Ε_{2},Ε'_{1},Ε'_{2},\) θα ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων \(Ο(0,0)\) και βρίσκονται πάνω σε αυτούς, οπότε οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου \(E_{1}E_{2}E'_{1}E'_{2}\) είναι ίσες, διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα, άρα αυτό είναι τετράγωνο.