Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 8614 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 22273 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.2. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 22273
Ύλη: 2.2. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας
Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση:

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\quad(1)$$

α) Να προσδιορίσετε, δικαιολογώντας την απάντησή σας, τις συντεταγμένες:
i. των σημείων που η έλλειψη τέμνει τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\),
ii. των εστιών \(Ε\) και \(Ε'\) της έλλειψης.
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο \(Α(0,4)\) και εφάπτονται στη καμπύλη που περιγράφει η εξίσωση \((1)\).
(Μονάδες 13)

α) Η εξίσωση \((1)\) είναι της μορφής \(\dfrac{x^2}{α^2}+\dfrac{y^2}{β^2}=1\), όπου \(α^2= 9\) και \(β^2=4\).
i. Για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \(x'x\) θέτουμε στην εξίσωση \((1)\) \(y=0\). Έτσι έχουμε

$$\frac{x^2}{9}=1$$ $$\iff x^2=9$$ $$\iff x=\pm3.$$

Τα σημεία τομής με τον άξονα \(x'x\) είναι, λοιπόν, τα σημεία \(Κ(3,0)\) και \(Κ'(-3,0)\). Αντίστοιχα, για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \(y'y\) θέτουμε στην εξίσωση \((1)\) \(x=0\). Έτσι έχουμε

$$\frac{y^2}{4}=1$$ $$\iff y^2=4$$ $$\iff y=\pm2.$$

Επομένως, τα σημεία τομής με τον άξονα \(y'y\) είναι τα σημεία \(B(0,2)\) και \(Β'(0,-2)\).
ii. Η εξίσωση \((1)\) παριστάνει έλλειψη με εστίες στον άξονα \(x'x\). Οπότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες \(Ε(γ,0)\) και \(Ε'(-γ,0)\), όπου \(γ=\sqrt{α^2-β^2}=\sqrt{5}\). Άρα οι εστίες της, \(Ε\) και \(Ε'\), έχουν συντεταγμένες \(Ε(\sqrt{5},0)\) και \(Ε'(-\sqrt{5},0).\)

β)

Το σημείο \(Α(0,4)\) είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης, αφού είναι σημείο στον άξονα \(y'y\) και η έλλειψη που μας δόθηκε τέμνει τον άξονα \(y'y\) στα σημεία \(Β(0,2)\) και \(Β'(0,-2)\). Θεωρούμε \(Μ(x_1, y_1)\) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης \((ε)\) στο σημείο \(Μ\) θα είναι της μορφής

$$\frac{xx_1}{9}+\frac{yy_1}{4}=1\iff 4xx_1+9yy_1=36.$$

Η ευθεία \((ε)\) διέρχεται από το σημείο \(Α(0,4)\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \(Α\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \((ε)\). Ισχύει δηλαδή

$$4\cdot0 x_1 +9\cdot 4y_1 = 36\iff y_1 = 1.$$

Επιπλέον, το σημείο \(Μ(x_1, y_1)\) είναι σημείο της έλλειψης, οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση \((1)\). Άρα ισχύει

\begin{align}&\frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{4}=1\\ \iff&\frac{x_1^2}{9}+\frac{1^2}{4}=1\\ \iff&\frac{x_1^2}{9}=\frac{3}{4}\\ \iff&x_1=\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}.\end{align}

Για \(x_1=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) και \(y_1=1\), έχουμε την εφαπτόμενη \((ε_1)\) με εξίσωση

$$4\frac{3\sqrt{3}}{2}x+9y=36\iff 2\sqrt{3}+3y=12.$$

Για \(x_1=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) και \(y_1=1\), έχουμε την εφαπτόμενη \((ε_2)\) με εξίσωση

$$4\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)x+9y=36\iff -2\sqrt{3}x+3y=12.$$

Άρα, οι δύο εφαπτόμενες της έλλειψης που διέρχονται από το σημείο \(Α(0,4)\) είναι οι:

$$2\sqrt{3}+3y=12$$ $$\text{και } -2\sqrt{3}x+3y=12$$