Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5389 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33892 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33892
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

α) Να λύσετε την ανίσωση \(x^{2}+x-6<0\).
(Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση \(\left|x-\dfrac{1}{2}\right|>1\).
(Μονάδες 5)

γ) Δίνεται το παρακάτω ορθογώνιο με πλευρές \(α\) και \(α+1\).

Ο αριθμός \(α\) ικανοποιεί τη σχέση \(\left|α-\dfrac{1}{2}\right|>1\). Αν για τον εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ισχύει \(Ε<6\), τότε:

  1. Να δείξετε ότι \(\dfrac{3}{2}<α<2\).
    (Μονάδες 7)

  2. Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών κυμαίνεται η περίμετρος του ορθογωνίου.
    (Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}+x-6\) έχει διακρίνουσα \(Δ=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=25>0\). Το άθροισμα των ριζών του είναι \(S=\dfrac{-1}{1}=-1\) και το γινόμενό τους είναι \(P=\dfrac{-6}{1}=-6\), οπότε οι ρίζες είναι \(x_{1}=-3\) και \(x_{2}=2\). Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Οπότε η ανίσωση \(x^{2}+x-6<0\) αληθεύει για \(x\in (-3,2)\).

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$\left|x-\dfrac{1}{2}\right|>1$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x-\dfrac{1}{2}<-1 \\ ή \\ x-\dfrac{1}{2}>1 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x<-\dfrac{1}{2} \\ ή \\ x>\dfrac{3}{2} \end{cases}$$

γ)

  1. Ο αριθμός \(α\) ικανοποιεί τη σχέση \(\left|α-\dfrac{1}{2}\right|>1\), οπότε από το β) ερώτημα \(α<-\dfrac{1}{2}\) (απορρίπτονται οι τιμές αυτές γιατί \(α>0\), ως πλευρά) ή \(α>\dfrac{3}{2}\ \ (1)\).

    Για το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ισχύει:

    $$Ε<6 $$ $$\Leftrightarrow α\cdot (α+1)<6 $$ $$\Leftrightarrow α^{2}+α-6<0$$

    Από το α) ερώτημα και επειδή \(α>0\), η ανίσωση αληθεύει για \(α\in (0,2)\ \ (2)\).

    Από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει \(\dfrac{3}{2}<α<2\).

  2. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \(Π=2α+2(α+1)=4α+2\).
    Έχουμε:

    $$\dfrac{3}{2} < α < 2$$ $$\overset{(\cdot 4)}{ \Leftrightarrow }6 < 4α < 8$$ $$\overset{(+2)}{ \Leftrightarrow }8 < Π < 10$$

    Άρα η περίμετρος του ορθογωνίου κυμαίνεται μεταξύ των αριθμών \(8\) και \(10\).