Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4694 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34186 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34186
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Οι πλευρές \(x_{1}\) και \(x_{2}\) ενός ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης \(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\), με \(λ\in (0,2)\).

α) Να βρείτε

  1. την περίμετρο \(Π\) του ορθογωνίου.
    (Μονάδες 6)

  2. το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \(λ\).
    (Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι \(Ε\le 1\), για κάθε \(λ\in (0,2)\).
(Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε την τιμή του \(λ\in (0,2)\) για την οποία το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(1\). Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
(Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\) έχει ρίζες \(x_{1}\) και \(x_{2}\) με άθροισμα:

$$S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{-2}{1}=2$$

και γινόμενο:

$$P=x_{1}x_{2}=\dfrac{λ(2-λ)}{1}=λ(2-λ)$$

  1. H περίμετρος \(Π\) του ορθογωνίου είναι:

    $$Π=2x_{1}+2x_{2}$$ $$=2(x_{1}+x_{2})$$ $$=2\cdot 2=4$$

  2. Tο εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \(λ\) είναι:

    $$Ε=x_{1}x_{2}=λ(2-λ), λ\in (0,2)$$

β) Έχουμε:

$$Ε\le 1 $$ $$\Leftrightarrow λ(2-λ)\le 1 $$ $$\Leftrightarrow λ^{2}-2λ+1\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (λ-1)^{2}\ge 0$$

που ισχύει για κάθε \(λ\in (0,2)\).

γ) Το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(1\), αν και μόνο αν:

$$Ε=1$$ $$\overset{(β)}{ \Leftrightarrow }(λ-1)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=1$$

Για \(λ=1\), η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \(4\) και το εμβαδόν του \(1\), οπότε το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο πλευράς \(x_{1}=x_{2}=1\).