Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6753 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34310 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34310
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση \(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1=0\), με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}-\{0\}\).

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα \(Δ\) της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του \(λ\), δηλαδή σταθερή.
(Μονάδες 8)

β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης ως συνάρτηση του \(λ\).
(Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \(λ\) η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με \(2\) μονάδες.
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1\) έχει \(α=λ\), \(β=2λ-1\), \(γ=λ-1\) και διακρίνουσα:

$$Δ=(2λ-1)^{2}-4λ(λ-1)=$$ $$=4λ^{2}-4λ+1-4λ^{2}+4λ=1$$

Άρα, η διακρίνουσα \(Δ\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \(λ\).

β) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(2λ-1)\pm \sqrt{1}}{2λ}$$ $$=\dfrac{1-2λ\pm 1}{2λ}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{2-2λ}{2λ}=\dfrac{1-λ}{λ} \\ \\ \dfrac{-2λ}{2λ}=-1 \end{cases}$$

γ) Η απόσταση των ριζών \(x_{1}\), \(x_{2}\) στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι:

$$|x_{2}-x_{1}|=\left|-1-\dfrac{1-λ}{λ}\right|$$

Οπότε πρέπει:

$$\left|-1-\dfrac{1-λ}{λ}\right|=2$$ $$ \Rightarrow \left|\dfrac{-λ-1+λ}{λ}\right|=2$$ $$\Rightarrow \left|\dfrac{1}{λ}\right|=2$$ $$\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{1}{λ}=2 \\ \\ \dfrac{1}{λ}=-2 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}λ=\dfrac{1}{2} \\ \\ λ=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$$