Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4051 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34322 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34322
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Μια υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός \(x\), να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό \(λ\) που προκύπτει από τη σχέση:

$$λ=(2x+5)^{2}-8x\ \ \ \ (1)$$

α) Αν ο εισαγόμενος αριθμός \(x\) είναι ο \(-5\), ποιος είναι ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\);
(Μονάδες 4)

β) Αν ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) είναι ο \(20\), ποιος είναι ο εισαγόμενος αριθμός \(x\);
(Μονάδες 6)

γ)

  1. Να δείξετε ότι η σχέση \((1)\) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί στη μορφή:

    $$4x^{2}+12x+(25-λ)=0$$

    (Μονάδες 2)

  2. Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός \(x\), ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) δεν μπορεί να είναι ίσος με \(5\).
    (Μονάδες 6)

  3. Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\).
    (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \(x=-5\) και βρίσκουμε:

$$λ=(2\cdot (-5)+5)^{2}-8\cdot (-5)$$ $$=(-10+5)^{2}+40$$ $$=(-5)^{2}+40$$ $$=25+40=65$$

β) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \(λ=20\) και έχουμε:

$$20=(2x+5)^{2}-8x$$

ή ισοδύναμα:

$$20=4x^{2}+20x+25-8x$$

και τελικά:

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Το τριώνυμο \(4x^{2}+12x+5\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=12^{2}-4\cdot 4\cdot 5$$ $$=144-80=64>0$$

και ρίζες:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-12\pm \sqrt{64}}{2\cdot 4}$$ $$=\dfrac{-12\pm 8}{8}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-12+8}{8}=-\dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{-12-8}{6}=-\dfrac{5}{2} \end{cases}$$

γ)

  1. Η σχέση \((1)\) ισοδύναμα γράφεται:

    $$λ=(2x+5)^{2}-8x $$ $$\Leftrightarrow λ=4x^{2}+20x+25-8x $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+(25-λ)=0\ \ \ \ (2)$$

  2. Για να μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) να είναι \(5\), με βάση τη σχέση \((2)\) θα πρέπει να υπάρχει \(x\) τέτοιος ώστε:

    $$4x^{2}+12x+(25-5)=0 $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+20=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+3x+5=0$$

    Το τριώνυμο \(x^{2}+3x+5\) έχει διακρίνουσα \(Δ=3^{2}-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0\). Άρα, η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη. Οπότε, για καμία τιμή του \(x\) δεν μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) να είναι \(5\).

  3. Οι δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο αριθμός \(λ\), είναι αυτές για τις οποίες η εξίσωση \((2)\) έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό ισχύει αν και μόνο αν \(Δ\ge 0\) όπου \(Δ\) η διακρίνουσα του τριωνύμου \(4x^{2}+12x+(25-λ)\). Οπότε, ισοδύναμα έχουμε ότι:

$$ Δ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 12^{2}-4\cdot 4\cdot (25-λ)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 144-400+16λ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 16λ\ge 256 $$ $$\Leftrightarrow λ\ge 16$$