Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6513 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34327 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34327
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

α) Να λύσετε την εξίσωση \(x^{2}-3x-4=0\ \ \ \ (1)\)
(Μονάδες 10)

β) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί \(α\), \(β\) για τους οποίους ισχύει: \(α^{2}-3αβ-4β^{2}=0\).

  1. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \(\dfrac{α}{β}\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\).
    (Μονάδες 7)

  2. Να αιτιολογήσετε γιατί ο \(α\) είναι τετραπλάσιος του \(β\).
    (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-3x-4\) έχει \(α=1\), \(β=-3\), \(γ=-4\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-4)$$ $$=9+16=25>0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης \((1)\) είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{3\pm 5}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{3+5}{2}=4 \\ \\ \dfrac{3-5}{2}=-1 \end{cases}$$

β)

  1. Ο αριθμός \(\dfrac{α}{β}\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

    $$(\dfrac{α}{β})^{2}-3\dfrac{α}{β}-4=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{α^{2}}{β^{2}}-3\dfrac{α}{β}-4=0 $$ $$\overset{β \ne 0}{\Leftrightarrow} α^{2}-3αβ-4β^{2}=0$$

    το οποίο ισχύει από την υπόθεση.

  2. Στο ερώτημα α) βρήκαμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \((1)\) είναι οι \(x_{1}=4\) και \(x_{2}=-1\).

    Επίσης, στο ερώτημα (βi) δείξαμε ότι ο αριθμός \(\dfrac{α}{β}\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\). Οπότε, πρέπει:

    $$\dfrac{α}{β}=4\ \ \text{ή}\ \ \dfrac{α}{β}=-1$$

    Επειδή οι \(α\), \(β\) είναι ομόσημοι, η περίπτωση \(\dfrac{α}{β}=-1\) απορρίπτεται. Άρα, ισχύει:

    $$\dfrac{α}{β}=4 $$ $$\Leftrightarrow α=4β$$

    δηλαδή, ο \(α\) είναι τετραπλάσιος του \(β\).