ΛΥΣΗ

Έστω δυο ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) με \(Α'Β'= Α'Γ'\).

α) Έστω ότι τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) έχουν \(ΑΒ = Α'Β'\) και \(\widehat{Α} = \widehat{Α'}\).

Τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) έχουν το καθένα ένα ζεύγος ίσων πλευρών τις \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) και \(Α'Β'\), \(Α'Γ'\) αντίστοιχα. Αφού είναι \(ΑΒ = Α'Β'\) (υπόθεση) θα είναι επίσης και \(ΑΓ = Α'Γ'\). Οπότε τα τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ίσες (τις ίσες τους) και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες \(\widehat{Α}\) και \(\widehat{Α'}\) ίσες από την υπόθεση (ΠΓΠ), άρα τα τρίγωνα είναι ίσα.

β) Έστω ότι τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) έχουν \(ΑΓ = Α'Γ'\) και \(\widehat{Β} = \widehat{Β'}\).

Τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) έχουν ένα ζεύγος ίσων πλευρών τις \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) και \(Α'Β'\), \(Α'Γ'\) αντίστοιχα. Αφού είναι \(ΑΓ = Α'Γ'\) θα είναι επίσης και \(ΑΒ = Α'Β'\).

Επίσης τα δυο τρίγωνα έχουν ένα ζεύγος ίσων γωνιών, \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\) και \(\widehat{Β'} = \widehat{Γ'}\) αντίστοιχα ως γωνίες στις βάσεις \(ΒΓ\) και \(Β'Γ'\) κάθε ισοσκελούς τριγώνου. Επειδή \(\widehat{Β} = \widehat{Β'}\), από την υπόθεση, θα είναι και \(\widehat{Γ} = \widehat{Γ'}\). Έχοντας όμως τα τρίγωνα τις δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, θα είναι ίσες και οι τρίτες γωνίες τους, δηλαδή \(\widehat{Α} = \widehat{Α'}\). Τελικά τα τρίγωνα έχουν:

• \(ΑΓ = Α'Γ'\)
• \(\widehat{Γ} = \widehat{Γ'}\)
• \(\widehat{Α} = \widehat{Α'}\)

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ).