ΛΥΣΗ

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\widehat{Α} = 90^{\circ}\), \(\widehat{Β} = 2\widehat{Γ}\) και \(Μ\) το μέσο της πλευράς του \(ΒΓ\).

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, δηλαδή:

$$\widehat{Β} + \widehat{Γ} = 90^{\circ} \;\Rightarrow\; 2\widehat{Γ} + \widehat{Γ} = 90^{\circ} \;\Rightarrow\; 3\widehat{Γ} = 90^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{Γ} = 30^{\circ}$$

Από υπόθεση ισχύει \(\widehat{Β} = 2\widehat{Γ}\) άρα \(\widehat{Β} = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

β) Φέρουμε το τμήμα \(ΑΜ\).

Η \(ΑΜ\) είναι διάμεσος που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας του τριγώνου \(ΑΒ\), οπότε η \(ΑΜ\) είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή ισχύει \(ΑΜ = \dfrac{ΒΓ}{2} = ΜΓ\).

Επομένως το τρίγωνο \(ΑΜΓ\) είναι ισοσκελές.

γ) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΜΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΜΑ = ΜΓ\) ισχύει ότι \(\widehat{ΜΑΓ} = \widehat{Γ} = 30^{\circ}\).

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΜΓ\), βρίσκουμε:

$$\widehat{ΑΜΓ} + \widehat{ΜΑΓ} + \widehat{Γ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{ΑΜΓ} + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{ΑΜΓ} = 120^{\circ}$$