ΛΥΣΗ

α) Το τραπέζιο είναι ισοσκελές, άρα οι γωνίες οι προσκείμενες σε κάθε βάση του είναι ίσες, οπότε \(\widehat{BAΔ} = \widehat{ABΓ} = 135^{\circ}\) ως προσκείμενες στη βάση \(AB\).

Οι \(\widehat{ABΓ}\) και \(\widehat{BΓΔ}\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(AB\), \(ΓΔ\) που τέμνονται από την \(BΓ\), άρα είναι παραπληρωματικές, δηλαδή:

$$\widehat{ABΓ} + \widehat{BΓΔ} = 180^{\circ} \text{ ή } 135^{\circ} + \widehat{BΓΔ} = 180^{\circ}, \text{ άρα } \widehat{BΓΔ} = 45^{\circ}$$

Επίσης είναι \(\widehat{AΔΓ} = \widehat{BΓΔ}\) ως γωνίες προσκείμενες στη βάση \(ΓΔ\) του ισοσκελούς τραπεζίου \(ABΓΔ\). Άρα \(\widehat{AΔΓ} = 45^{\circ}\).

β) Επειδή τα \(AE\), \(BZ\) είναι ύψη του τραπεζίου, τα τρίγωνα \(BZΓ\) και \(AEΔ\) είναι ορθογώνια.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(BZΓ\) είναι \(\hat{Γ} = 45^{\circ}\) και επειδή οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, θα ισχύει ότι:

$$\widehat{ZBΓ} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \text{ ή } \widehat{ZBΓ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}, \text{ άρα } \widehat{ZBΓ} = 45^{\circ}$$

Οπότε το τρίγωνο \(BZΓ\) έχει δυο γωνίες ίσες, άρα θα είναι ισοσκελές με \(BZ = ZΓ\) \((1)\).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(AEΔ\) είναι \(\hat{Δ} = 45^{\circ}\) και επειδή οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, θα ισχύει ότι:

$$\widehat{Δ AE} + \hat{Δ} = 90^{\circ} \text{ ή } \widehat{Δ AE} + 45^{\circ} = 90^{\circ}, \text{ άρα } \widehat{Δ AE} = 45^{\circ}$$

Οπότε το τρίγωνο \(AEΔ\) έχει δυο γωνίες ίσες, άρα θα ισοσκελές με \(AE = EΔ\) \((2)\).

Επίσης τα ύψη του τραπεζίου είναι ίσα, οπότε \(AE = BZ\) \((3)\).

Από \((1)\), \((2)\) και \((3)\) έχουμε \(AE = EΔ = BZ = Γ Z\).