ΛΥΣΗ

α) Αφού \(\hat{A} = 90^{\circ}\) θα είναι \(AΔ \perp AB\) και \(AB \parallel ΓΔ\), άρα και \(AΔ \perp ΓΔ\), οπότε \(\hat{Δ} = 90^{\circ}\).

Οι γωνίες \(\hat{B}\) και \(\hat{Γ}\) του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΑΒ\), \(ΔΓ\) που τέμνονται από την \(ΒΓ\), οπότε είναι παραπληρωματικές:

$$\hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff \hat{B} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \iff \hat{B} = 120^{\circ}.$$

β) Επειδή το \(ΒΕ\) είναι ύψος του τραπεζίου από την κορυφή \(Β\), τότε \(\hat{E} = 90^{\circ}\) οπότε το τρίγωνο \(ΒΕΓ\) θα είναι ορθογώνιο και οι οξείες γωνίες του θα είναι συμπληρωματικές:

$$\widehat{EBΓ} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \iff \widehat{EBΓ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} \iff \widehat{EBΓ} = 30^{\circ}.$$

Άρα η απέναντι κάθετη πλευρά \(ΕΓ\) της \(\widehat{EBΓ}\) στο τρίγωνο \(ΒΕΓ\) θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας:

$$EΓ = \frac{BΓ}{2}, \quad \text{άρα} \quad BΓ = 2EΓ.$$

γ) Είναι \(EΓ = \dfrac{BΓ}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\).

Τα τμήματα \(ΑΔ\) και \(ΒΕ\) σχηματίζουν ορθές γωνίες με τις παράλληλες πλευρές \(ΑΒ\) και \(ΔΓ\) του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\), άρα το τετράπλευρο \(ΑΒΕΔ\) είναι ορθογώνιο, οπότε \(AB = Δ E = 4\).

Το τμήμα \(ΜΝ\) ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του τραπεζίου, οπότε είναι διάμεσος του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) και ισχύει ότι:

$$MN = \frac{AB + ΓΔ}{2} = \frac{AB + Δ E + EΓ}{2} = \frac{4 + 4 + 2}{2} = 5.$$