ΛΥΣΗ

α) Επειδή \(AΔ = AΓ\), το τρίγωνο \(ΑΔΓ\) είναι ισοσκελές, οπότε \(\hat{Δ} = \widehat{ΔΓ A}\). \((1)\)

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΔΓ\) και τη σχέση \((1)\) έχουμε:

$$\hat{A} + \hat{Δ} + \widehat{ΔΓ A} = 180^{\circ} \iff 70^{\circ} + 2\hat{Δ} = 180^{\circ} \iff \hat{Δ} = 55^{\circ}.$$

Οπότε \(\widehat{ΔΓ A} = \hat{Δ} = 55^{\circ}\).

Οι γωνίες \(\hat{A}\) και \(\hat{B}\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΑΔ\), \(ΒΕ\) που τέμνονται από την \(ΑΒ\), οπότε είναι παραπληρωματικές. Άρα:

$$\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ} \iff 70^{\circ} + \hat{B} = 180^{\circ} \iff \hat{B} = 110^{\circ}.$$

Επειδή \(BE = BΓ\), το τρίγωνο \(ΒΕΓ\) είναι ισοσκελές, άρα \(\widehat{EΓ B} = \hat{E}\). \((2)\)

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΒΕΓ\) έχουμε:

$$\hat{B} + \hat{E} + \widehat{EΓ B} = 180^{\circ} \iff 110^{\circ} + 2\hat{E} = 180^{\circ} \iff \hat{E} = 35^{\circ}.$$

Οπότε \(\widehat{EΓ B} = \hat{E} = 35^{\circ}\).

β) Ισχύει ότι:

$$\widehat{ΔΓ E} = 180^{\circ} - \widehat{ΔΓ A} - \widehat{EΓ B} = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 35^{\circ} = 90^{\circ}.$$