ΛΥΣΗ
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\hat{Β}=35^0\) και \(ΑΜ\) διάμεσός του στην πλευρά \(ΒΓ\)

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, δηλαδή ισχύει ότι \(\hat{B} + \hat{Γ} = 90^{\circ}\), με \(\hat{B} = 35^{\circ}\), οπότε:

$$35^{\circ} + \hat{Γ} = 90^{\circ}, \quad \text{άρα } \hat{Γ} = 55^{\circ}.$$

β) Η \(ΑΜ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του \(ΑΒΓ\), άρα θα ισούται με το μισό της:

$$AM = \frac{BΓ}{2} = MB.$$

Επειδή είναι \(AM = MB\), το τρίγωνο \(ΑΜΒ\) είναι ισοσκελές, οπότε \(\widehat{BAM} = \hat{B} = 35^{\circ}\).

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΜΒ\) είναι:

$$\widehat{AMB} + \widehat{BAM} + \hat{B} = 180^{\circ} \iff \widehat{AMB} + 35^{\circ} + 35^{\circ} = 180^{\circ}, \quad \text{άρα } \widehat{AMB} = 110^{\circ}.$$

Οι γωνίες του τριγώνου \(ΑΜΒ\) είναι: \(\widehat{BAM} = 35^{\circ}\), \(\hat{B} = 35^{\circ}\), \(\widehat{AMB} = 110^{\circ}\).