Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Είστε Μαθηματικός;
Ελάτε στην ομάδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ
Ελάτε στην ομάδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ
Ευκαιρίες Απασχόλησης
Επισήμανση θέματος Επισήμανση Προσθήκη στις Εκτυπώσεις Προσθήκη Εκτύπωση Μεμονωμένου Θέματος
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5809 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37008 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 Ύλη: 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 37008
Ύλη: 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 2

Έστω ορθογώνιο \(ΑΒΓΔ\) και τα σημεία \(Ν\) και \(Κ\) των \(ΑΒ\) και \(ΔΓ\) αντίστοιχα, τέτοια ώστε \(ΑΝ = ΚΓ\).

Να αποδείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα \(ΑΝΔ\) και \(ΒΓΚ\) είναι ίσα, (Μονάδες 12)

β) το τετράπλευρο \(ΝΒΚΔ\) είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

Έστω ορθογώνιο \(ΑΒΓΔ\) και σημεία \(Ν\) και \(Κ\) πάνω στις \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) αντίστοιχα τέτοια ώστε \(ΑΝ = ΓΚ\).

α) Τα τρίγωνα \(ΑΝΔ\) και \(ΒΓΚ\) έχουν:

  • \(\hat{A} = \hat{Γ} = 90^{\circ}\), αφού το \(ΑΒΓΔ\) είναι ορθογώνιο.
  • \(ΑΝ = ΚΓ\), από υπόθεση
  • \(ΑΔ = ΒΓ\), ως απέναντι πλευρές του ορθογωνίου \(ΑΒΓΔ\)

Άρα, τα τρίγωνα \(ΑΝΔ\) και \(ΒΓΚ\) είναι ίσα ως ορθογώνια που έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία.

β) Ισχύει \(ΑΒ = ΔΓ\) \((1)\) γιατί είναι απέναντι πλευρές του ορθογωνίου \(ΑΒΓΔ\) και επίσης είναι \(ΑΝ = ΚΓ\) \((2)\) από υπόθεση.

Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις ισότητας \((1)\) και \((2)\) βρίσκουμε:

\(ΑΒ – ΑΝ = ΔΓ – ΚΓ\), δηλαδή \(ΒΝ = ΚΔ\) \((3)\)

Είναι \(ΔΝ = ΒΚ\) \((4)\) ως υποτείνουσες των ίσων τριγώνων \(ΑΝΔ\) και \(ΒΓΚ\) (ερώτημα α).

Από \((3)\) και \((4)\) προκύπτει ότι το τετράπλευρο \(ΝΒΚΔ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες.