Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4198 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37116 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 19-Σεπ-2025 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37116 | ||
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Σεπ-2025 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\) και το ύψος του \(ΑΜ\). Φέρουμε \(ΜΔ\) κάθετη στην \(ΑΓ\) και θεωρούμε \(Η\) το μέσο του τμήματος \(ΜΔ\). Από το \(Η\) φέρουμε παράλληλη στη \(ΒΓ\) η οποία τέμνει τις \(ΑΜ\) και \(ΑΓ\) στα σημεία \(Κ\) και \(Ζ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΗΖ=\dfrac{ΒΓ}{4}\)
(Μονάδες 9)
β) \(ΜΖ // ΒΔ\)
(Μονάδες 8)
γ) Η ευθεία \(ΑΗ\) είναι κάθετη στη \(ΒΔ\).
(Μονάδες 8)
ΛΥΣΗ
α) Στο ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) το \(ΑΜ\) είναι ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του, οπότε είναι και διάμεσος του τριγώνου. Άρα \(ΓΜ = \dfrac{ΒΓ}{2}\ \ \ \ (1)\).
Στο τρίγωνο \(ΜΔΓ\) το \(Η\) είναι μέσο της \(ΜΔ\) και \(ΗΖ // ΜΓ\), άρα το \(Ζ\) είναι μέσο της \(ΔΓ\) και ισχύει ότι: \(HZ = \dfrac{ΓΜ}{2}\ \ \ \ (2)\)
Από (1), (2) βρίσκουμε: \(HZ = \dfrac{ΓΜ}{2}= \dfrac{\dfrac{ΒΓ}{2}}{2}=\dfrac{ΒΓ}{4}\)
β) Στο τρίγωνο \(ΒΔΓ\) το \(ΜΖ\) ενώνει τα μέσα \(Μ\) και \(Ζ\) των πλευρών \(ΒΓ\) και \(ΔΓ\) αντίστοιχα, άρα: \(ΜΖ // ΒΔ\).
γ) Είναι \(ΚΖ // ΒΓ\) και \(ΒΓ⊥ΑΜ\), άρα \(ΚΖ⊥ΑΜ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΜΖ\) τα \(ΜΔ\), \(ΖΚ\) είναι ύψη, άρα το σημείο τομής τους \(Η\) , είναι ορθόκεντρο του τριγώνου. Επομένως το \(ΑΗ\) είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου. Δηλαδή \(AH⊥MZ\) και επειδή \(MZ // BΔ\) είναι και \(AH⊥BΔ\).