ΛΥΣΗ

α) Το \(ΜΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΔΒΓ\), οπότε \(EM =\dfrac{ΒΓ}{2}\)

Το \(ΖΜ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΓΑΔ\), άρα \(ΜΖ // ΑΔ\) και \(ΜΖ =\dfrac{ΑΔ}{2}\)

Επίσης, το \(ΑΒΓΔ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε ισχύει ότι \(ΒΓ = ΑΔ\).
Οπότε προκύπτει ότι \(ΜΕ = ΜΖ\).
β) Είναι \(ΜΖ // ΑΔ\) και \(ΑΔ⊥ ΑΓ\) άρα είναι και \(ΜΖ⊥ΑΓ\).
γ) Τα τρίγωνα \(ΜΔΕ\) και \(ΜΖΓ\) έχουν:

• \(ΜΕ =ΜΖ\), από το ερώτημα (α)
• \(ΜΔ = ΜΓ\), διότι \(Μ\) μέσο του \(ΓΔ\)
• \(ΔΕ = \dfrac{ΔΒ}{2}=\dfrac{ΑΓ}{2} = ΖΓ\), διότι οι \(ΑΓ\), \(ΒΔ\) είναι διαγώνιες του ισοσκελούς τραπεζίου.

Τα τρίγωνα \(ΜΔΕ\) και \(ΜΖΓ\) έχουν τις τρεις πλευρές τους μία προς μία ίσες άρα είναι ίσα.
δ) Επειδή τα τρίγωνα \(ΜΔΕ\) και \(ΜΖΓ\) είναι ίσα έχουν και
\(\hat{OΔΓ}= \hat{OΓΔ}\) διότι είναι απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΜΕ\), \(ΜΖ\) αντίστοιχα.
Άρα το τρίγωνο \(ΟΔΓ\) είναι ισοσκελές και ισχύει \(ΟΔ = ΟΓ\). Τότε:
\(ΟΔ = ΟΓ\) ή \(ΟΕ + ΕΔ = ΟΖ + ΖΓ\) ή \(ΟΕ = ΟΖ\)
Επίσης ισχύει \(ΜΕ=ΜΖ\), λόγω του ερωτήματος (α).
Επειδή είναι \(ΟΕ = ΟΖ\) και \(ΜΕ = ΜΖ\) οπότε η \(ΟΜ\) είναι μεσοκάθετος του \(ΕΖ\).