ΛΥΣΗ

Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΑΓ\), \(ΑΗ\) ύψος και \(Δ\), \(Ε\), \(Ζ\) τα μέσα των \(ΑΒ\), \(ΑΓ\), \(ΒΓ\) αντίστοιχα.

α) Το \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), οπότε ισχύει ότι: \(ΔΕ \parallel ΒΓ\) άρα και \(ΔΕ \parallel ΗΖ\).

Το \(ΕΖ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), άρα ισχύει ότι:

\(ΕΖ \parallel ΑΒ \text{ και } ΕΖ = \frac{ΑΒ}{2} \ \ \ (1)\)

Αφού \(ΕΖ \parallel ΑΒ\) και η \(ΔΗ\) τέμνει την \(ΑΒ\), θα τέμνει και την παράλληλή της \(ΕΖ\). Οπότε το τετράπλευρο \(ΔΕΖΗ\) έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες, άρα είναι τραπέζιο.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΗΒ\) η \(ΗΔ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα:

\(ΗΔ = \frac{ΑΒ}{2} \ \ (2)\)

Από τις σχέσεις \((1)\), \((2)\) προκύπτει ότι \(ΕΖ = ΗΔ\) \((3)\). Επομένως το τραπέζιο \(ΔΕΖΗ\) είναι ισοσκελές.

β) Τα τρίγωνα \(ΗΔΖ\) και \(ΗΕΖ\) έχουν:

• \(ΕΖ = ΗΔ\), λόγω της \((3)\)
• \(ΗΖ\) κοινή πλευρά
• \(\widehat{ΔΗΖ} = \widehat{ΕΖΗ}\), ως γωνίες βάσης του ισοσκελούς τραπεζίου

Τα τρίγωνα \(ΗΔΖ\) και \(ΗΕΖ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες, άρα είναι ίσα και έχουν \(\widehat{ΗΔΖ} = \widehat{ΗΕΖ}\) ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από την κοινή τους πλευρά \(ΗΖ\).

γ) Είναι \(\widehat{ΕΔΖ} = \widehat{ΔΖΗ}\) \((4)\) ως γωνίες εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΔΕ\), \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΔΖ\).

Επίσης, \(\widehat{ΔΖΗ} = \widehat{ΕΗΖ}\) \((5)\) ως απέναντι γωνίες των ίσων πλευρών \(ΔΗ\), \(ΕΖ\) αντίστοιχα των ίσων τριγώνων \(ΗΔΖ\) και \(ΗΕΖ\) από το β) ερώτημα.

Από \((4)\), \((5)\) προκύπτει ότι \(\widehat{ΕΔΖ} = \widehat{ΕΗΖ}\).