Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3882 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37171 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 37171
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Αν \(α\), \(β\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

$$α+β=2\ \ \text{και}\ \ α^{2}β+αβ^{2}=−30$$

α) Να αποδείξετε ότι: \(α\cdot β=−15\).
(Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) και να τους βρείτε.
(Μονάδες 15)

Λύση

α) Είναι:

$$ α^{2}β+αβ^{2}=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ(α+β)=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ\cdot 2=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ=−15 $$

β) Η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής:

$$x^{2}−Sx+P=0$$

με:

$$S=α+β=2\ \ \text{και}\ \ P=αβ=−15$$

Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^{2}−2x−15=0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}−2x−15\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}−4αγ$$ $$=(−2)^{2}−4\cdot 1\cdot (−15)$$ $$=4+60=64 > 0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{64}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{2\pm 8}{2}=5\ \ \text{ή}\ \ -3$$

Άρα είναι \(α=5\) και \(β=−3\) ή \(α=−3\) και \(β=5\).