Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4815 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37179 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 37179
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι παραστάσεις: \(K=2a^{2}+β^{2}\) και \(Λ=2αβ\), όπου \(α,\ β \in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι: \(Κ\ge Λ,\) για κάθε τιμή των \(α,β\).

(Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιμές των \(α,\ β\) ισχύει η ισότητα \(Κ=Λ;\)

(Μονάδες 13)

α) Ισχύουν:

$$\begin{align} & Κ\ge Λ \\ \Leftrightarrow & Κ−Λ\ge 0 \\ \Leftrightarrow & 2α^{2}+β^{2}−2αβ\ge 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2}+α^{2}+β^{2}−2αβ\ge 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2}+(α−β)^{2}\ge 0 \end{align}$$

η οποία ισχύει για κάθε \(α,\ β\in \mathbb{R}\).

Άρα \(Κ\ge Λ,\) για κάθε τιμή των \(α,\ β\).

β) Εκτελώντας τις πράξεις όπως στο (α) ερώτημα έχουμε ότι:

$$\begin{align} & Κ=Λ \\ \Leftrightarrow & α^{2}+(α−β)^{2}=0\\ \Leftrightarrow & α^{2}=0 \text{ και } (α−β)^{2}=0\\ \Leftrightarrow & α=0 \text{ και } α=β\end{align}$$

Οπότε \(Κ=Λ\) αν και μόνο αν \(α=β=0\).