Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 7241 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37201 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 37201
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η παράσταση \(A=|x-1|+|y-3|\) με \(x, y\) πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: \(1<x<4\) και \(2<y<3\).
Να αποδείξετε ότι:

α) \(A=x-y+2\).
(Μονάδες 12)

β) \(0<A<4\).
(Μονάδες 13)

α) Είναι:

$$1\lt x\lt 4$$ $$\Leftrightarrow 1\lt x \text{ και } x\lt 4$$ $$\Leftrightarrow x-1>0 \text{ και } x-4 \lt 0$$

Άρα \(|x-1|=x-1\).

Ισχύει ακόμα:

$$2\lt y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow 2\lt y \text{ και } y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow y-2>0 \text{ και } y-3\lt 0$$

Άρα \(|y-3|=-(y-3)=3-y\).

Τότε:

$$\begin{align} A & = |x-1|+|y-3|\\ & = x-1+3-y\\ &= x-y+2\end{align}$$

β) Είναι \(1\lt x\lt 4\ \ \ \ (1)\) και:

$$2\lt y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow -2>-y>-3$$ $$\Leftrightarrow -3\lt -y\lt -2$$ $$\Leftrightarrow -3+2\lt -y+2\lt -2+2$$ $$\Leftrightarrow -1\lt -y+2\lt 0 \ \ \ \ (2)$$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \((1), (2)\) και βρίσκουμε:

$$1-1\lt x-y+2\lt 4+0$$ $$\Leftrightarrow 0\lt x-y+2\lt 4$$

Άρα \(0\lt A\lt 4\).