ΛΥΣΗ

α) Είναι γνωστό ότι $\sigma \upsilon \nu ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )=\eta \mu \theta$ και $\eta \mu (-\theta )=-\eta \mu \theta$, οπότε έχουμε:

$${\rm A}=2\sigma \upsilon \nu ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )+\eta \mu (-\theta )$$ $$=2\eta \mu \theta -\eta \mu \theta =\eta \mu \theta$$

που είναι το ζητούμενο.

β) Από την ταυτότητα $\eta {\mu }^2\theta +\sigma \upsilon {\nu }^2\theta =1$, με $\sigma \upsilon \nu \theta ={\displaystyle \frac{12}{13}}$ έχουμε:

$$\eta {\mu }^2\theta =1-\sigma \upsilon {\nu }^2\theta$$ $$=1-{\displaystyle \frac{144}{169}}={\displaystyle \frac{25}{169}}$$

Αλλά $\theta \in ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},2\pi )$, οπότε $\eta \mu \theta <0$, άρα:

$$\eta \mu \theta =-\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{169}}}=-{\displaystyle \frac{5}{13}}$$