Λύση

α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}−4αγ$$ $$=(−5β)^{2}−4\cdot 2\cdot 2β^{2}$$ $$=25β^{2}−16β^{2}$$ $$=9β^{2}>0$$

αφού: \(β>0\).

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{−β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{−(−5β)\pm \sqrt{9β^{2}}}{2\cdot 2}$$ $$=\dfrac{5β\pm 3β}{4}$$

οπότε:

$$x_{1}=\dfrac{5β+3β}{4}=2β$$

και:

$$x_{2}=\dfrac{5β−3β}{4}=\dfrac{β}{2}$$

Σημείωση: Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Η \(x_{1}=2β\) είναι ρίζα της \((1)\), διότι την επαληθεύει:

$$2(2β)^{2}−5β(2β)+2β^{2}=8β^{2}−10β^{2}+2β^{2}=0$$

Ομοίως, η \(x_{2}=\dfrac{β}{2}\) είναι ρίζα της \((1)\), διότι την επαληθεύει:

$$2(\dfrac{β}{2})^{2}−5β(\dfrac{β}{2})+2β^{2}=2\dfrac{β^{2}}{4}−5\dfrac{β^{2}}{2}+2β^{2}$$ $$=\dfrac{β^{2}}{2}−5\dfrac{β^{2}}{2}+2β^{2}$$ $$=\dfrac{−4β^{2}}{2}+2β^{2}=0$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις \(x_{1}\), \(x_{2}\) με \(x_{1}\ne x_{2}\).

β) Οι αριθμοί \(2β\), \(β\), \(\dfrac{β}{2}\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, διότι:

$$\dfrac{β}{2β}=\dfrac{1}{2}$$

και:

$$\dfrac{\dfrac{β}{2}}{β}=\dfrac{β}{2β}=\dfrac{1}{2}$$

δηλαδή ο λόγος των όρων με τη σειρά που δίνονται είναι σταθερός ίσος με \(λ=\dfrac{1}{2}\).